Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=，a₂=，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求證：數(shù){b_n-a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列；
（Ⅲ）若當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)，S_n取得最小值，求b₁的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可以先根據(jù)數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系式求的數(shù)列的通項(xiàng)，再有數(shù)列{b_n}滿足的關(guān)系，將a_n 與b_n作差化簡(jiǎn)即可獲得解答；
（Ⅱ）先結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論求的通項(xiàng)公式b_n-a_n，又?jǐn)?shù)列{a_n}的通項(xiàng)知道，故可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，通過通項(xiàng)研究即可解答；（Ⅲ）結(jié)合數(shù)列的變化將問題轉(zhuǎn)化為通項(xiàng)的不等關(guān)系，解方程組即可獲得解答．
解答：解：（Ⅰ）2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N*）∴{a_n}是等差數(shù)列．
又a₁=，a₂=，
∴a_n=+（n-1）-=
b_n=b_n-1+（n≥2，n∈N*），
∴b_n+1-a_n+1=b_n-=-=（b_n-）=（b_n-a_n）．
又∵b₁-a₁=b₁-≠0
∴{b_n-a_n}是以b₁-為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）b_n-a_n=（b₁-）•a_n=，b_n=（b₁-）．
當(dāng)n≥2時(shí)b_n-b_n-1=-（b₁-）
又b₁＜0，∴b_n-b_n-1＞0
∴{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．
（Ⅲ）∵當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)，S_n取最小值．
∴
即，
∴b₁∈（-47，-11）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列的遞推公式問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了運(yùn)算的能力、函數(shù)的思想以及問題轉(zhuǎn)化的能能力．值得同學(xué)們體會(huì)反思．