設(shè)數(shù)列{bn}滿足：，bn+1=bn2+bn，
（1）求證：；
（2）若Tn=++…+，對任意的正整數(shù)n，3Tn-log2m-5＞0恒成立．求m的取值范圍．
【答案】分析：（1））要證明，只要能證bn+1=bn（bn+1），而 由已知：bn+1=bn2+bn，推導(dǎo)即可
 （2）由（1）可求得 ，結(jié)合數(shù)列的特點考慮利用裂項求和，從而可得數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，最后將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可
解答：解：（1）∵，bn+1=bn2+bn=bn（bn+1），
∴對任意正整數(shù)n＞0，有即：．…（4分）
（2）Tn=（）+（）+…+（）==2-．…（7分）
∵b n+1-bn=bn2＞0，∴bn+1＞bn，∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列．
∴數(shù)列{Tn}關(guān)于n遞增．∴Tn≥T1．…（10分）
∵，∴
∴…（12分）
∴
∵3Tn-log2m-5＞0恒成立，∴l(xiāng)og2m＜3Tn-5恒成立，
∴l(xiāng)og2m＜-3…（14分）
∴．…（16分）
點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列求和中的裂項求和，屬于基本方法的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2=5，S5=35，設(shè)數(shù)列{bn}滿足an=log2bn．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；
（3）設(shè)Gn=a1•b1+a2•b2+…+an•bn，求Gn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且
Sn
an
=
1
2
an+1(n∈N*)，其中a1=1，an≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足(2an-1)(2bn-1)=1，Tn為{bn}的前n項和，求證：2Tn＞log2（2an+1），n∈N*；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)m，d，使得
lim
n→∞
[(
1
3
)m+(
1
3
)m+d+(
1
3
)m+2d+…+(
1
3
)m+(n-1)d]=
1
a8
成立？若存在，請求出m和d的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2n，
設(shè)數(shù)列{bn}滿足an=log2bn，
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，滿足S4=8且a1、a2、a5成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn-an=2n+1，n∈N*，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，問是否存在正整數(shù)n，使得Tn=2012成立？若存在，求出n；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)一模）定義x1，x2，…，xn的“倒平均數(shù)”為
n
x1+x2+…+xn
（n∈N*）．
（1）若數(shù)列{an}前n項的“倒平均數(shù)”為
1
2n+4
，求{an}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：當(dāng)n為奇數(shù)時，bn=1，當(dāng)n為偶數(shù)時，bn=2．若Tn為{bn}前n項的倒平均數(shù)，求
lim
n→∞
Tn；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=-x2+4x，對（1）中的數(shù)列{an}，是否存在實數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時，f（x）≤
an
n+1
對任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的實數(shù)λ；若不存在，說明理由．

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