Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，以雙曲線的半焦距c為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，與y軸正半軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A在y軸上的射影為H，
且．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若AF₁交雙曲線于點(diǎn)M，且，求λ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意與，可求，A在雙曲線上，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，
整理后利用a²+b²=c²即可求得雙曲線的離心率；
（2）由，結(jié)合已知條件可求得，將點(diǎn)A、M的坐標(biāo)代入，得到方程組，從而轉(zhuǎn)化為離心率與λ的函數(shù)關(guān)系，從而可求得λ．
解答：解：（1）由已知F₁（-c，0），點(diǎn)A在y軸上的射影為H，…（1分）
∵
∴，∵A在雙曲線上
∴…（4分）．
b²c²-3a²c²=4a²b²，c⁴-8a²c²+4a⁴=0，e⁴-8e²+4=0
，…（6分）
（2）∵∴…（8分）
由A，M都在雙曲線上，
得…（10分）
由（1）得 代入（2），
…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓錐曲線的綜合，著重考查學(xué)生解方程組與綜合應(yīng)用a²，b²，c²，及離心率e之間的關(guān)系，屬于難題．