解:(Ⅰ)設(shè)P(x
0,y
0),由題意有l(wèi)
1⊥l
2,且PM⊥l
1,PN⊥l
2,
∴四邊形PMON是矩形,
∴S
PMON=2S
△MON=|PM|•|PN|=1,
∴
,
∴|x
02-y
02|=2,
∵P在
所表示的區(qū)域內(nèi),
∴x
02-y
02=2(x
0>0),
所以求得動點P的軌跡方程為x
2-y
2=2(x>0).
(Ⅱ)假設(shè)存在滿足條件的直線l.
當l⊥x軸時,有l(wèi):x=2.
此時|AB|=
,
,△ABQ不是正三角形.
當l不垂直x軸時,設(shè)l:y=k(x-2),
并設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
由
,
得(1-k
2)x
2+4k
2-2=0,
△=8k
2+8>0恒成立,
∵l與雙曲線的右支交于兩點,
∴|k|>1.
∴
,
∴線段AB的中點
,
∴線段AB的垂直平分線為
,
∴
,
∵△ABQ是等邊三角形,
∴
.
分析:(Ⅰ)設(shè)P(x
0,y
0),由題意有l(wèi)
1⊥l
2,且PM⊥l
1,PN⊥l
2,四邊形PMON是矩形,所以S
PMON=2S
△MON=|PM|•|PN|=1,故
,由此能求出動點P的軌跡方程.
(Ⅱ)假設(shè)存在滿足條件的直線l.當l⊥x軸時,有l(wèi):x=2.此時|AB|=
,
,△ABQ不是正三角形.當l不垂直x軸時,設(shè)l:y=k(x-2),設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),由
,得(1-k
2)x
2+4k
2-2=0,△=8k
2+8>0恒成立,由此能夠推導出
.
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.本題有一定的探索性.綜合性強,難度大,易出錯.