Question

已知函數(shù)f（x）=kx+m，當(dāng)x∈[a₁，b₁]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇a₂，b₂]，當(dāng)x∈[a₂，b₂]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇a₃，b₃]，…，依此類推，一般地，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇a_n，b_n]，其中k、m為常數(shù)，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若m=2，問是否存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列{b_n}滿足

lim

n→∞

bn=4．若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若k＜0，設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₀）．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閒（x）=x+m，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，所以其值域?yàn)閇a_n-1+m，b_n-1+m]=[a_n，b_n]，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列
{a_n}，{b_n}均為等差數(shù)列，易得其通項(xiàng)公式
（2）因?yàn)閒（x）=kx+2（k＞0），當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，所以f（x）的值域?yàn)閇ka_n-1+2，kb_n-1+2]
=[a_n，b_n]，所以b_n=kb_n-1+2（n≥2），再由極限的四則運(yùn)算列方程可求出k
（3）因?yàn)閗＜0，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）為單調(diào)減函數(shù)，所以f（x）的值域?yàn)閇kb_n-1+m，ka_n-1+m]
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）則b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1），從而數(shù)列{b_n-a_n}為一個(gè)以1為首項(xiàng)，-k為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得到此數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn-Sn 公式，再求數(shù)列{Tn-Sn }的前n項(xiàng)和即可得所求解

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=x+m，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
所以其值域?yàn)閇a_n-1+m，b_n-1+m]
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．
（2）因?yàn)閒（x）=kx+m（k＞0），當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）為單調(diào)增函數(shù)
所以f（x）的值域?yàn)閇ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，則b_n=kb_n-1+2（n≥2）
假設(shè)存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列{bn}滿足

lim

n→∞

bn=4，則

lim

n→∞

bn=k

lim

n→∞

bn-1+2，
得4=4k+2，則k=

1

2

符合．
故存在k=

1

2

，使

lim

n→∞

bn=4
（3）因?yàn)閗＜0，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）為單調(diào)減函數(shù)，
所以f（x）的值域?yàn)閇kb_n-1+m，ka_n-1+m]
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
則b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）
又b₁-a₁=1，∴b_n-a_n=（-k）^n-1
∴Tn-Sn=

n                (k=-1)   1-(-k)n 1+k   (k＜0，k≠-1)

進(jìn)而有(T1+T2+…+T2010)-(S1+S2+…+S2010)=

2021055，(k=-1) 2010+2011k-k2011 (1+k)2 ，(k＜0，k≠-1)

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列極限，數(shù)列求和等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)算量較大，解題時(shí)要耐心細(xì)致，認(rèn)真體會(huì)其中的思想方法