Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2．E、F分別為線段AB、D₁C上的點(diǎn)．
（I）若E、F分別為線段AB、D₁C的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD₁；
（II）已知二面角D₁-EC-D的大小為，求AE的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：取DC的中點(diǎn)G，連接FG，GE．
∵FG∥DD₁，DD₁?平面AD₁，
∴FG∥平面AD₁．
同理：GE∥平面AD₁，且FG∩GE=G，
∴平面EFG∥平面AD₁，EF?平面EFG，
∴EF∥平面AD₁．
（Ⅱ）D₁D⊥平面ABCD，過D在平面ABCD內(nèi)作DH⊥EC于H，連接D₁H．
∵DH是D₁H在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴D1H⊥EC．
∴∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角．
即∠DHD₁=．
在△DHD₁中，tan∠DHD₁=，
∴，S_△DEC=，
∴，
∴EC²=1+EB²，
∴，
∴．
分析：（Ⅰ）欲證EF∥平面AD₁，可利用平面EFG∥平面AD₁進(jìn)行證明，取DC的中點(diǎn)G，連接FG，GE，而FG∥DD₁，DD₁?平面AD₁，根據(jù)線面平行的判定定理可知FG∥平面AD₁，同理可證GE∥平面AD₁，且FG∩GE=G，從而平面EFG∥平面AD₁，EF?平面EFG，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知EF∥平面AD₁；
（Ⅱ）根據(jù)D₁D⊥平面ABCD，過D在平面ABCD內(nèi)作DH⊥EC于H，連接D₁H，而DH是D₁H在平面ABCD內(nèi)的射影，則∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角，在△DHD₁中，根據(jù)tan∠DHD₁值求出DH，根據(jù)面積求出EC，最后根據(jù)EC²=1+EB²求出所求即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面平行的判定，以及與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，同時(shí)考查了空間想象能力、分析推理能力，屬于中檔題．