Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²，g（x）=k（x-1），函數(shù)f（x）-g（x）其中一個零點為5，數(shù)列{a_n}滿足，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式：
（2）試證明；
（3）設(shè)b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），試探究數(shù)列{b_n}是否存在最大項和最小項？若存在求出最大項和最小項，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意先求出k的值，進而求出a₁的值，然后根據(jù)（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0可以求出a_n-1為等比數(shù)列，便可求出數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）由（1）求得的數(shù)列{a_n}通項公式求出的表達式，再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明；
（3）根據(jù)題意先求出b_n的通項公式，然后令，討論b_n的單調(diào)性，分別討論n=1，2，3，4時u的值，即可求出b_n的最大項和最小項的值．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）-g（x）有一個零點為5，即方程（x-1）²-k（x-1）=0，有一個根為5，
將x=5代入方程得16-4k=0，
∴k=4，∴a₁=2（1分）
由（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0得
4（a_n+1-a₁）（a_n-1）+（a_n-1）²=0，
（a_n-1）（4a_n+1-4a_n+a_n-1）=0，
∴a_n-1=0或4a_n+1-4a_n+a_n-1=0，（3分）
由（1）知a₁=2，∴a_n-1=0（舍去）．
由4a_n+1-4a_n+a_n-1=0得4a_n+1=3a_n+（14分）
由4a_n+1=3a_n+1得a_n+1-1=（5分）
∴數(shù)列{a_n-1}是首項為a₁-1=1，公比為的等比數(shù)列
∴a_n-1=，
∴數(shù)列{a_n}通項公式為a_n=．（6分）
（2）由（1）知∴=+n=4[1-（8分）
∵對?n∈N*，有，
∴∴+n≥1+n，
即（10分）
（3）由b_n=3f（a_n）-g（a_n+1）得b_n=3（a_n-1）²-4（a_n+1-1）
∴=（11分）
令，則0＜u≤1，
b_n=3（u²-u）=
∵函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)（12分）
當n=1時u=1，
當n=2時，
當n=3時，=，
當n=4時，
∵，且
∴當n=3時，b_n有最小值，即數(shù)列{b_n} 有最小項，最小項為（13分）
當n=1即u=1時，b_n有最大值，即有最大項，最大項為b₁=3（1-1）=0．（14分）
點評：本題考查了數(shù)列的推導(dǎo)以及函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值和最小值，考查了學生的計算能力和對數(shù)列、函數(shù)的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．