Question

我國加入WTO后，根據(jù)達(dá)成的協(xié)議，若干年內(nèi)某產(chǎn)品關(guān)稅與市場供應(yīng)量P的關(guān)系允許近似的滿足：y=P(x)=2(1-kt)(x-b)2（其中t為關(guān)稅的稅率，且t∈[0，

1

2

)）．（x為市場價格，b、k為正常數(shù)），當(dāng)t=

1

8

時的市場供應(yīng)量曲線如圖
（1）根據(jù)圖象求k、b的值；
（2）若市場需求量為Q，它近似滿足Q(x)=211-

1

2

x．當(dāng)P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格．為使市場平衡價格控制在不低于9元，求稅率t的最小值．

Answer 1

分析：第一問能根據(jù)圖象求出k、b的值．第二問能根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，并能在定義域內(nèi)求函數(shù)的最小值．考查的知識綜合性較強，對學(xué)生理解題意的能力也是一個挑戰(zhàn)．

解答：解：（1）由圖可知，t=

1

8

時有

2(1- k 8 )(5-b)2=1 2(1- k 8 )(7-b)2=2

解得

k=6 b=5

（2）當(dāng)P=Q時，得2(1-6t)(x-5)2=211-

1

2

x解得：t=

1

6

[1-

22-x

2(x-5)2

]=

1

6

[1-

17-(x-5)

2(x-5)2

]=-

1

12

[

17

(x-5)2

-

1

x-5

-2]
令m=

1

x-5

，∵x≥9，∴m∈[0，

1

4

]在t=-

1

12

[17m2-m-2]中
∴對稱軸m=

1

34

∈(0，

1

4

)且開口向下；
∴m=

1

4

時，t取得最小值

19

192

，此時x=9
∴稅率t的最小值為

19

192

．

點評：此題是個指數(shù)函數(shù)的綜合題，但在求解的過程中也用到了構(gòu)造函數(shù)的思想及二次函數(shù)在定義域內(nèi)求最值的知識．考查的知識全面而到位！