Question

四邊形ABCD為正方形，S為平面ABCD外的一點，S在底面ABCD上的射影為正方形的中心O，P為SD的中點，且SO=OD，求直線BC與截面PAC所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：計算題,空間角

分析：以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法求解．

解答： 解：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，
則A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，-

a

2

，

a

2

），
則

CA

=（2a，0，0），

AP

=（-a，-

a

2

，

a

2

），

CB

=（a，a，0），
設(shè)平面PAC的一個法向量為

n

，
則

2ax=0 -2ay+2az=0

，可取

n

=（0，1，1），
∴cos＜

CB

，

n

＞=

a

2 a• 2

=

1

2

，
∴＜

CB

，

n

＞=60°，
∴直線BC與平面PAC的夾角為90°-60°=30°．

點評：此題重點考查了直線與平面所成的角的概念及利用空間向量的方法求解空間之中的直線與平面的夾角．