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在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知
cosA-3cosC
cosB
=
3c-a
b
．
（Ⅰ）求
sinC
sinA
的值；
（Ⅱ）若B為鈍角，b=10，求a的取值范圍．
分析：（Ⅰ）直接利用正弦定理化簡已知表達式，通過兩角和的正弦函數與三角形的內角和，求出
sinC
sinA
的值；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）求出a與c的關系，利用B為鈍角，b=10，推出關系求a的取值范圍．
解答：（本小題滿分14分）
解：（I）由正弦定理，設
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=k，
則
3c-a
b
=
3ksinC-ksinA
ksinB
=
3sinC-sinA
sinB
，
所以
cosA-3cosC
cosB
=
3sinC-sinA
sinB
．…（4分）
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
化簡可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）
又A+B+C=π，
所以sinC=3sinA
因此
sinC
sinA
=3．…（8分）
（II）由
sinC
sinA
=3得c=3a．…（9分）
由題意
a+c＞b
a2+c2＜b2
，…（12分）
∴
5
2
＜a＜
10
…（14分）
點評：本題考查正弦定理與兩角和的正弦函數的應用，注意三角形的判斷與應用，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•天津）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a=2，c=
2
，cosA=-
2
4
．
（1）求sinC和b的值；
（2）求cos（2A+
π
3
）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，已知a2-c2=b，且sinAcosC=3cosAsinC，則b=
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b是方程x2-2
3
x+2=0的兩根，2cos（A+B）=1，則△ABC的面積為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=3
2
，則B的大小為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知B=60°，不等式x2-4x+1＜0的解集為{x|a＜x＜c}，則b=
13
13
．

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