Question

如圖，四邊形ABCD中，AD=DC=3，BC=5，AB=8，∠DCB=120°，則四邊形ABCD的面積為

 

．

Answer 1

分析：連接BD，在三角形DCB中，由DC，BC以及cos∠DCB的值，利用余弦定理求出BD的長(zhǎng)，在三角形ABD中，利用余弦定理表示出cosA，將三邊長(zhǎng)代入求出cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，四邊形ABCD的面積由三角形BCD面積與三角形ABD面積之和求出即可．

解答：解：連接BD，
在△BCD中，DC=3，BC=5，∠DCB=120°，
利用余弦定理得：BD²=DC²+BC²-2DC•BCcos∠DCB=9+25+15=49，
∴BD=7，
在△ABD中，AD=3，AB=8，BD=7，
由余弦定理得：cosA=

AD2+AB2-BD2

2AD•AB

=

9+64-49

2×3×8

=

1

2

，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

2

，
則S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_△ABD=

1

2

×3×5×

3

2

+

1

2

×3×8×

3

2

=

39 3

4

．
故答案為：

39 3

4

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．