Question

在數(shù)列a_n中，已知a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2，n∈N^*，n≥2．
（1）求證：數(shù)列a_n+n是等比數(shù)列；     （2） 求數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析：（1）由題意數(shù)列a_n中，已知a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2，n∈N^*，有遞推關(guān)系構(gòu)造新等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義即可求數(shù)列a_n+n是等比數(shù)；
（2）有（1）知數(shù)列{

an

2n

}的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減法即可求其前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）∵a_n=2a_n-1+n-2，
∴a_n+n=2（a_n-1+n-1）    
∴數(shù)列{a_n+n}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）有（1）知：a_n+n=2ⁿ即：a_n=2ⁿ-n，
∴

an

2n

=1-

n

2n

∴Sn=(1-

1

2

)+(1-

2

22

)+(1-

3

23

)+…+(1-

n

2n

)=n-(

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)
令Tn=

1

21

+

2

22

+

3

22

+…+

n

2n

①
則

1

2

Tn=

1

21

+(

1

22

+

1

23

+…+ 

1

2n

)-

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

21

+(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
∴Tn=2-

1

2n+1

-

n

2n

，
∴Sn=n-2+

1

2n+1

+

n

2n

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了構(gòu)造新等比數(shù)列，還考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．