Question

已知△ABC的面積為S，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，

AB

•

AC

=

3

2

S．
（1）求cosA的值；
（2）若a，b，c成等差數(shù)列，求sinC的值．

Answer 1

（1）∵

AB

•

AC

=

3

2

S，
∴bccosA=

3

2

×

1

2

bcsinA，即sinA=

4

3

cosA．…（2分）
代入sin²A+cos²A=1化簡(jiǎn)整理，得cos2A=

9

25

．…（4分）
∵sinA=

4

3

cosA，可得cosA＞0，
∴角A是銳角，可得cosA=

3

5

．…（6分）
（2）∵a，b，c成等差數(shù)列
∴2b=a+c，結(jié)合正弦定理得2sinB=sinA+sinC，
即2sin（A+C）=sinA+sinC，…（8分）
因此，可得2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．①
由（1）得cosA=

3

5

及sinA=

4

3

cosA，所以sinA=

4

5

，…（10分）
代入①，整理得cosC=

4-sinC

8

．
結(jié)合sin²C+cos²C=1進(jìn)行整理，得65sin²C-8sinC-48=0，…（12分）
解之得sinC=

12

13

或sinC=-

4

5

．
∵C∈（0，π），可得sinC＞0
∴sinC=

12

13

（負(fù)值舍去）．…（14分）