Question

已知是定義在R上的奇函數(shù)，
（1）求f（x）及f^-1（x）的表達(dá)式．
（2）若當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意求出函數(shù)的定義域是R，再由f（x）=-f（-x）所以f（0）=0列出方程，整理后利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，求出a的值得求f（x）表達(dá)式，將y=f（x）作為方程利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化解出x，然后確定原函數(shù)的值域問(wèn)題得f^-1（x）的表達(dá)式．
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出：最后得出不等式m²≥（1-x²）_max從而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，且在x=0處有意義，所以f（0）=0，
即，解得a=1，所以-------------------------------------------------------（2分）
設(shè)，則y2^x+y=2^x-1，即，由得-1＜y＜1，--------------（4分）
又，所以，（-1＜x＜1）
即，（-1＜x＜1．）-----------------------------------------------------（6分）
（2）即，----------------------------------------------8 分
得m²≥1-x²，，所以不等式m²≥（1-x²）_max，----------------------------------------------------（10分）
由x∈（-1，1）知?jiǎng)tm≥1．----------------------------------------------------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題屬于基礎(chǔ)性題，思路清晰、難度小，但解題中要特別注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，另外恒成立的問(wèn)題也是一個(gè)難點(diǎn)．