Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），判斷函數(shù)F（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程g（m+2x-x²）=f（x）有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a＞1時(shí)，不等式f（n-x）＞g（x）對(duì)任意x∈[0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)n的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)F（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用方程g（m+2x-x²）=f（x）有實(shí)數(shù)根，建立m的方程求出m的范圍；
（Ⅲ）利用不等式恒成立，求實(shí)數(shù)n的范圍．
解答：解：（I）要使函數(shù)（x）=f（x）-g（x）有意義，
則，解得-1＜x＜1，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵F（x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）
=-[f（x）-g（x）]=F（-x），
∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函數(shù)；
（II）方程g（m+2x-x²）=f（x）有實(shí)數(shù)根，
即
所以1+m+2x-x²=1-x，即m=x²-3x有實(shí)數(shù)根，
由-1＜1-x＜1，得0＜x＜2．
∵m=x²-3x=，0＜x＜2，
∴．
（Ⅲ）因?yàn)閒（n-x）=log_a（1-n+x），
g（x）=，
所以由a＞1且f（n-x）＞g（x）
得，
設(shè)，則1，
所以不等式等價(jià)為t²-n＞t，
即n＜t²-t，
設(shè)g（t）=t²-t，則，
所以當(dāng)t=1，即x=0時(shí)，g（t）有最小值0．
所以n＜0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．