已知點P到（0，-
3
），（0，
3
）的距離之和為4，設P的軌跡是C，并交直線y=kx+1于A、B兩點
（1）求C的方程；
（2）若以AB為直徑的圓過原點，求此時k的值．
考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程
專題：直線與圓,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意得出點P的軌跡是橢圓，求出a、b、c的值，即得橢圓C的方程；
（2）設出點A、B的坐標，寫出以AB為直徑的圓滿足的方程，再把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關系式，求出k的值．
解答： 解：（1）根據(jù)橢圓的定義，得點P的軌跡是橢圓，且c=
3
，2a=4，
∴a=2，
b2=a2-c2=1；
∴橢圓C的方程為：
y2
4
+x2=1；…（4分）
（2）依題意設A（x1，y1），B（x2，y2），
∵以AB為直徑的圓過O點，
∴
OA
•
OB
=0，
∴x1x2+y1y2=0；…（6分）
直線方程與橢圓方程聯(lián)立，
得
y=kx+1
x2+
y2
4
=1
，
消去y，得（4+k2）x2+2kx-3=0；
∴
△＞0
x1+x2=-
2k
4+k2
x1x2=
-3
4+k2
，…..（8分）
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1…（10分）
=
-3k2-2k2+4+k2
4+k2
=
-4k2+4
4+k2
；…（11分）
∴x1x2+y1y2=
-4k2+4-3
4+k2
=
1-4k2
4+k2
=0，…（12分）
∴k=±
1
2
．…（14分）
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的應用問題，也考查了直線與圓的應用問題，解題時應用直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系進行解答，是綜合性題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知，全集U={x|-5≤x≤3}，A={x|-5≤x＜-1}，B={x|-1≤x＜1}，求∁UA，∁UB，（∁UA）∩（∁UB），∁U（A∪B）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓方程
x2
2
+y2=1，AB為橢圓的弦，且AB=2，求AB的中點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=-
1
2
，2an=4an-1-3，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線y=x+2被雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1截得的弦AB的中點M的坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題只文科做）如下框中所示的程序回答以下兩個問題：

①若輸入X=8，則輸出K=
 
        
②若輸出K=2，則輸入X的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線kx-y+1=0與圓（x-1）2+y2=4的位置關系是（　�。�
A、相交B、相切
C、相離D、不確定，與k有關

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列命題
①函數(shù)y=cos（x+
π
2
）是偶函數(shù)；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=
kπ
2
，k∈Z}
③直線x=
π
8
是函數(shù)y=sin（2x+
π
4
）圖象的一條對稱軸；
④函數(shù)y=sin（x+
π
6
）在（-
π
2
，
π
3
）上是單調(diào)增函數(shù)；
⑤點（
π
6
，0）是函數(shù)y=tan（x+
π
3
）圖象的對稱中心．
⑥若f（sinx）=cos6x，則f（cos15°）=0；
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=lg
2x-1
x2-1
的定義域是
 
．

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