Question

已知z₁，z₂為復(fù)數(shù)，（3+i）z₁為實數(shù)，z2=

z1

2+i

且|z2|=5

2

，則z₂=

±（5-5i）

．

Answer 1

分析：設(shè)出復(fù)數(shù)z₁，根據(jù)復(fù)數(shù)是一個實數(shù)，得到實部和虛部之間的關(guān)系，根據(jù)z₂的關(guān)系，得到復(fù)數(shù)的表示形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)z₁=a+bi，
∵（3+i）z₁為實數(shù)，
∴（3+i）（a+bi）=3a-b+（a+3b）i
∴a+3b=0，
∴z₁=a+bi=-3b+bi
∵z2=

z1

2+i

=

-3b+bi

2+i

=

(-3b+bi)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

-5b+5bi

5

=-b+bi
∵|z2|=5

2

，
∴

2b2

=5

2

，
∴b=±5，
∴z₂=±（5-5i）
故答案為：±（5-5i）

點評：本題考查復(fù)數(shù)的求法，考查復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算和模長的公式，本題解題的關(guān)鍵是看出兩個復(fù)數(shù)之間的關(guān)系，本題是一個中檔題目．