Question

（本題滿分16分）本題共有3個小題，第一小題3分，第二小題6分，第三小題7分

如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)；

（1）若，求曲線的方程；

（2）對于（1）中的曲線，若過點(diǎn)作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)A、B，求三角形的面積；

（3）如圖，若直線（不一定過）平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)A、B，求證：弦AB的中點(diǎn)M必在曲線的另一條漸近線上。

Answer 1

（1）和；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）寫出直線方程，與曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式求弦長與高，再求三角形的面積；（3）寫出漸近線的方程與直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式寫出中點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證中點(diǎn)在另外一條漸近線上.

試題解析：（1） 2分

則曲線的方程為和。 3分

（2），曲線的漸近線 4分

設(shè)， 5分

7分

8分

9分

（3）曲線的漸近線為 10分

如圖，設(shè)直線 11分

則 12分

又由數(shù)形結(jié)合知， 13分

設(shè)點(diǎn)，

則， 14分

， 15分

，即點(diǎn)M在直線上。 16分

考點(diǎn)：1.圓錐曲線；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.