Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），其焦點為F，一條過焦點F，傾斜角為θ（0＜θ＜π）的直線交拋物線于A，B兩點，連接AO（O為坐標原點），交準線于點B'，連接BO，交準線于點A'，求四邊形ABB'A'的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：分類討論，當(dāng)θ=

π

2

時，SABB′A′=2p2；當(dāng)θ≠

π

2

時，令k=tanθ，證明四邊形ABB'A'是直角梯形，利用SABB′A′=

1

2

(|AA′|+|BB′|)•|A′B′|=

1

2

|AB|•|A′B′|，可求四邊形ABB'A'的面積．

解答： 解：當(dāng)θ=

π

2

時，SABB′A′=2p2．               …（4分）
當(dāng)θ≠

π

2

時，令k=tanθ．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
由y=k(x-

p

2

)，①y²=2px，②
消去x得，y2-

2p

k

y-p2=0，
所以y1+y2=

2p

k

，y1y2=-p2．   ③
又直線AO的方程為：y=

y1

x1

x，即為y=

2p

y1

x，
所以，AO與準線的交點的坐標為B′(-

p

2

，-

p2

y1

)，
而由③知，y2=-

p2

y1

，
所以B和B'的縱坐標相等，從而BB'∥x軸．
同理AA'∥x軸，故四邊形ABB'A'是直角梯形．…（9分）
所以，它的面積為SABB′A′=

1

2

(|AA′|+|BB′|)•|A′B′|=

1

2

|AB|•|A′B′|
=

1

2

(x2-x1)2+(y2-y1)2

•|y2-y1|=

1

2

(y2-y1)2

1+ 1 k2

=

1

2

1+ 1 k2

[(y1+y2)2-4y1y2]
=2p2(1+

1

k2

)

3

2

=2p2(1+cot2θ)

3

2

．…（14分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．