Question

將一塊圓心角為120°，半徑為20 cm的扇形鋼片裁出一塊矩形鋼片，如圖中有兩種裁法：使矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或者讓矩形一邊與弦AB平行，試問哪種裁法能使截得的矩形鋼片面積最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

答案：
解析：

[分析]依題意，利用平面幾何知識與三角函數(shù)公式，分別求出兩種裁法下所得矩形鋼片的面積的最大值，然后比較兩個(gè)最值的大小后作出結(jié)論． 　　[解]如圖甲，要使矩形面積最大，則O為其一頂點(diǎn)且另一頂點(diǎn)M在上，設(shè)∠MOA＝，則矩形PMNO的面積S1＝20·sin·20cos＝200sin2， 　　當(dāng)＝45°時(shí)，S1有最大值，為200 cm2； 　　如圖乙，設(shè)∠MOA＝，在△OMQ中，由正弦定理得QM＝． 　　由圖形的對稱性知，∠AOB的平分線OC為其對稱軸，于是MN＝2OM·sin(60°－)， 　　∴矩形PQMN的面積S2＝QM·MN＝ 　　2sinsin(60°－)＝． 　　當(dāng)＝30°時(shí)，S2有最大值為cm2， 　　又∵＞200 　　故用第二種方法可截得的矩形鋼片面積最大，最大面積為cm2．

提示：

本題主要考查運(yùn)用三角知識解決實(shí)際問題的最值能力，其中依題意，引入?yún)��?shù)，列出矩形的面積的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．