Question

若函數(shù)y=x²-2ax，x∈[2，4]，求函數(shù)的最小值g（a）的表達式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：首先判斷出函數(shù)y=x²-2ax=（x-a）²-a²開口方向向上，對稱軸為動直線x=a；然后根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關系，分①當a＜2時，②當2≤a≤4時，③當a＞4時三種情況討論，求出函數(shù)的最小值g（a）的表達式即可．

解答： 解：∵函數(shù)y=x²-2ax=（x-a）²-a²開口方向向上，
∴對稱軸為動直線x=a，
由對稱軸與區(qū)間的位置關系，分三種情況討論：
①當a＜2時，函數(shù)在[2，4]上單調遞增，
則當x=2時，y_min=g（a）=4-4a； 
②當2≤a≤4時，函數(shù)在[2，a]上單調遞減，在[a，4]上單調遞增，
則當x=a時，y_min=g（a）=-a²；
③當a＞4時，函數(shù)在[2，4]上單調遞減，
則當x=4時，y_min=g（a）=16-8a．
綜上，g（a）=

4-4a，a＜2 -a2，2≤a≤4 16-8a，a＞4

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質，以及求二次函數(shù)在某個區(qū)間上的最值的方法，考查了分類討論思想的運用，屬于基礎題．