Question

已知函數(shù)f（x）=x³（x＞0），點(diǎn)A_n（n，y_n），A_n+1（n+1，y_n+1）在函數(shù)f（x）的圖象上（n∈N^*）過(guò)點(diǎn)A_n，A_n+1的切線分別為L(zhǎng)_n，L_n+1，L_n與L_n+1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n．設(shè)，則=

1. A.
   
2. B.
   1
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：先求出其導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到在點(diǎn)A_n，A_n+1的切線方程，根據(jù)函數(shù)值相等求出L_n與L_n+1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_n的表達(dá)式；進(jìn)而求出a_n的表達(dá)式，通過(guò)對(duì)其分離常數(shù)以及裂項(xiàng)即可求出答案．
解答：對(duì)y=x³（n∈N^*）求導(dǎo)得y′=3x²，
令x=n得在點(diǎn)A_n（n，y_n）處的切線的斜率k=3n²，
所以在點(diǎn)A_n（n，y_n）處的切線方程為y-n³=k（x-n）=3n²（x-n）?y=3n²x-2n³；
同理在A_n+1的切線方程為：y-（n+1）³=3（n+1）²[x-（n+1）]?y=3（n+1）²x-2（n+1）³．
∴3n²x-2n³=3（n+1）²x-2（n+1）³?x=
即?x_n-1=．
∴=•===+=+（）．
∴=
==（+×）
=．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、數(shù)列的分組求和，裂項(xiàng)相消等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．