解:(Ⅰ)原函數(shù)可化為
(其中φ為輔助角,滿足
,
),
因為
是它的最低點,
所以
,
解得
且
.
所以
.
又x=0時,
,所以c=0,
,
;
(Ⅱ)因為
,
按題給變換后得
方程f(x)=3的正根就是直線y=3與y=f(x)的圖象交點的橫坐標,
它們成等差數(shù)列,即y=3與y=f(x)相鄰交點間的距離都相等.
直線y=3滿足以上要求只能有三個位置:
一是過圖象最高點且和x軸平行的直線l
1,
二是過圖象最低點且和x軸平行的直線l
2,
三是和l
1、l
2平行且等距的直線l
3,而圖象最低點為
,
故不可能是l
2.假若直線y=3在l
1,交點間隔為一個周期6,
即正根的公差為6,不合題意,所以y=3只能在l
3位置,
所以c=3,
,此時由
得x=3k,
正根可組成一個公差為3的等差數(shù)列,符合題意.
∴
.
分析:(Ⅰ)利用輔助角公式對函數(shù)解析式化簡整理,把最低點坐標代入求得φ和a,b和c的關系,表示出函數(shù)的解析式,把x=0代入即可求得a,b和c.
(Ⅱ)依據(jù)題意可求得變換后函數(shù)的解析式,進而可知方程f(x)=3的正根就是直線y=3與y=f(x)的圖象交點的橫坐標,通過它們成等差數(shù)列,判斷出直線y=3滿足以上要求只能有三個位置:一是過圖象最高點且和x軸平行的直線l
1,二是過圖象最低點且和x軸平行的直線l
2,三是和l
1、l
2平行且等距的直線l
3,根據(jù)最低點排除l
2.假若直線y=3在l
1,交點間隔為一個周期6,即正根的公差為6,不合題意,所以y=3只能在l
3位置,求得c,則函數(shù)的解析式求得正根檢驗后符合題意,函數(shù)的解析式可得.
點評:本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值,等差數(shù)列的應用,三角函數(shù)的圖象變換.考查了學生分析問題的能力和推理能力.