Question

已知關(guān)于x的方程4x²-2（m+1）x+m=0的兩個根恰好是一個直角三角形的兩個銳角的余弦，求實數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：解法一設(shè)出直角三角形的兩個銳角，得到兩個銳角之間的三角函數(shù)之間的關(guān)系，寫出一元二次方程的判別式，根據(jù)判別式恒大于0，得到方程的根的情況，得到結(jié)果．
解法二根據(jù)兩個根式銳角三角形的兩個銳角，再表示出兩個方程的根，得到銳角α的余弦值，進(jìn)而得到結(jié)果．
解答：解：解法一：設(shè)直角三角形的兩個銳角分別為α、β，則可得α+β=
∴cosα=sinβ---（2分）
∵方程4x²-2（m+1）x+m=0中，△=4（m+1）²-4•4m=4（m-1）²≥0
∴當(dāng)m∈R，方程恒有兩實根．
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα•cosβ=sinβcosβ=------（6分）
∴由以上兩式及sin²β+cos²β=1，得1+2•=（）²解得m=±------（8分）
當(dāng)m=時，cosα+cosβ=＞0，cosα•cosβ=＞0，滿足題意，
當(dāng)m=-時，cosα+cosβ=＜0，這與α、β是銳角矛盾，應(yīng)舍去．
綜上，m=------（10分）
解法二：設(shè)直角三角形的兩個銳角分別為α、β，則可得α+β=
∴cosα=sinβ---（2分）
方程4x²-2（m+1）x+m=0的兩根為----------（6分）
所以cosα=，所以α=60且β=30----------（8分）
cosβ=cos30°=，所以m=----------（10分）．
點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系即同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是利用兩個銳角互余的關(guān)系來解題，本題是一個中檔題目．