Question

設橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1，F是右焦點，l是過點F的一條直線（不與y軸平行），交橢圓于A、B兩點，l′是AB的中垂線，交橢圓的長軸于一點D，則

DF

AB

的值是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中點M（x₀，y₀），直線l的斜率為k，則l′的斜率為-

1

k

，由k=

y2-y1

x2-x1

及中點坐標公式，利用點差可得k=-

9x0

25y0

，進而可求m=

16x0

25

，由橢圓的第二定義可知，|AB|=|AF|+|BF|=

4

5

（

25

4

-x₁+

25

4

-x₂）=10-

8x0

5

，代入可求．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中點M（x₀，y₀），直線l的斜率為k，
則l′的斜率為-

1

k

則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，k=

y2-y1

x2-x1

由題意A、B兩點，代入橢圓，兩式相減，整理可得，k=-

9x0

25y0

又∵-

1

k

=

y0

x0-m

∴-

9x0

25y0

•

y0

x0-m

=-1
∴m=

16x0

25

，|DF|=|4-

16x0

25

|
∵e=

4

5

，右準線x=

25

4

，過A，B分別向右準線作垂線，垂足分別為E，G
由橢圓的第二定義可知，|AB|=|AF|+|BF|=

4

5

（

25

4

-x₁+

25

4

-x₂）=10-

8x0

5

∴

DF

AB

=

2

5

．
故答案為

2

5

．

點評：本題主要考查了直線與橢圓的相交關系的應用，橢圓的第二定義的應用點差法的應用是解答本題的關鍵