Question

已知直線l：y=x+m，m∈R．
（Ⅰ）若以點M（2，0）為圓心的圓與直線l相切于點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；
（Ⅱ）若直線l關于x軸對稱的直線為l′，問直線l′與拋物線C：x²=4y是否相切？說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用待定系數(shù)法求本題中圓的方程是解決本題的關鍵，利用直線與圓相切的數(shù)學關系列出關于圓的半徑的方程，通過求解方程確定出所求圓的半徑，進而寫出所求圓的方程；
（II）設出直線為l'的方程利用直線與拋物線的位置關系解決該題，將幾何問題轉化為代數(shù)方程組問題，注意體現(xiàn)方程有幾個解的思想．

解答：解：（I）設所求圓的半徑為r，則圓的方程可設為（x-2）²+y²=r²．由題意，所求圓與直線l：y=x+m相切于點P（0，m），則有

4+m2=r2 |2-0+m| 2 =r

，解得

m=2 r=2 2

，所以圓的方程為（x-2）²+y²=8．
（II）由于直線l的方程為y=x+m，所以直線l'的方程為y=-x-m，由

y=-x-m x2=4y

消去y得到x²+4x+4m=0，△=4²-4×4m=16（1-m）．
①當m=1時，即△=0時，直線l'與拋物線C：x²=4y相切；
②當m≠1時，即△≠0時，直線l'與拋物線C：x²=4y不相切．
綜上，當m=1時，直線l'與拋物線C：x²=4y相切；當m≠1時，直線l'與拋物線C：x²=4y不相切．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，直線與拋物線的位置關系，考查學生對直線與圓相切，直線與拋物線相切的問題的轉化方法，考查學生的方程思想和運算化簡能力，屬于基本題型．