Question

如圖，四面體DABC的體積為

1

6

，且滿足∠ACB=45°，AC=

2

，AD+BC=2，則線段CD的長(zhǎng)度是（　　）

• A．

  3

• B．2
• C．2

  2

• D．2

  3

Answer 1

分析：設(shè)四棱錐D-ABC的高為DA'，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離垂線段最短，我們可以構(gòu)造一個(gè)不等式，結(jié)合基本不等式，我們易判斷出AD與平面ABC垂直，并且可以求出BC及AC的長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理即可得到答案．

解答：解：作DA'⊥平面ABC，則AD≥A'D
∴V_D-ABC=

1

3

•A′D（

1

2

•AC•BC•sin45°）=

1

6

≤

1

3

•AD（

1

2

•AC•BC•sin45°），即AD•BC•

AC

2

≥1
由基本不等式得AD+BC+

AC

2

≥3

3	AD•BC• AC 2

≥3
當(dāng)且僅當(dāng)AD=BC=

AC

2

=1時(shí)取等號(hào)，
而AD+BC+

AC

2

=3，故AD'=AD=1，即AD⊥平面ABC
∴AD⊥AC
∴CD=

1+2

=

3

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直，考查基本不等式的運(yùn)用，其中根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式判斷出AD與平面ABC垂直，是解題的關(guān)鍵．