已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=
3
x，兩條準線間的距離為1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）直線l過坐標原點O且和雙曲線交于兩點M，N，點P為雙曲線上異于M，N的一點，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPM•kPN的值．
（Ⅰ）依題意，雙曲線焦點在x軸上，
有：
b
a
=
3
2a2
c
=1
a2+b2=c2.

解得a2=1，b2=3．
∴雙曲線方程為x2-
y2
3
=1．
（Ⅱ）設M（x0，y0），由雙曲線的對稱性，可得N（-x0，-y0）．
設P（xP，yP），
則kPM•kPN=
yP-y0
xP-x0
•
yP+y0
xP+x0
=
yP2-y02
xP2-x02
，
又x02-
y02
3
=1，
∴y02=3x02-3．
同理yP2=3xP2-3，
∴kPM•kPN=
3xP2-3-3x02+3
xP2-x02
=3．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過其左焦點F1，交雙曲線的左支于A、B兩點，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，△ABF2的周長為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標原點，離心率e=2，點M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且
OP
•
OQ
=0．問：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請求出該定值，若不是請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過定點
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點與拋物線y2=4
3
x的焦點重合，則該雙曲線的方程為
 
．

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