a
=(1,1),
b
=(1,0),
c
滿足
a
c
=0,且|
a
|
=|
c
|
,
b
c
>0
(I)求向量
c
;
(II)若映射f:(x,y)→(x′,y′)=x
a
+y
c

①求映射f下(1,2)原象;
②若將(x、y)作點(diǎn)的坐標(biāo),問(wèn)是否存在直線l使得直線l上任一點(diǎn)在映射f的作用下,仍在直線上,若存在求出l的方程,若不存在說(shuō)明理由.
分析:(I)設(shè)
c
=(x,y)
,由已知得到關(guān)于x、y的方程組,求出x、y,即求得向量
c

(II)根據(jù)映射f:(x,y)→(x′,y′)=x
a
+y
c
,①求映射f下(1,2)原象,列出方程,解方程即可;②存在性命題的探討,轉(zhuǎn)化為(1+k)y=(1-k)x-b與y=kx+b表示同一直線,對(duì)應(yīng)系數(shù)相等,求得直線方程.
解答:解:(I)設(shè)
c
=(x,y)
,則
x+y=0
x2+y2=2
x>0

x=1
y=-1

c
=(1,-1)

(II)①x(1,1)+y(1,-1)=(1,2)
x=
3
2
y=-
1
2

∴原象是(
3
2
,-
1
2
)

②假設(shè)l存在,設(shè)其方程為y=kx+b(k≠0),
x
a
+y
b
=(x+y,x-y)
點(diǎn)(x+y,x-y)在直線上
∴x-y=k(x+y)+b
即(1+k)y=(1-k)x-b與y=kx+b表示同一直線,
必有-b=b,
1-k
1+k
=k,
解可得b=0,k=-1±
2
,
∴直線?存在其方程為y=(-1±
2
)x
點(diǎn)評(píng):考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積,屬基礎(chǔ)題,對(duì)映射的定義,增加了試題新穎和綜合,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和方程的思想方法,很好.
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下列對(duì)應(yīng)中是集合A到集合B的映射的個(gè)數(shù)為

①A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},對(duì)應(yīng)法則f:x→y=x+1,x∈A,y∈B

②A={x|00<x<90},B={y|0<y<1},對(duì)應(yīng)法則f:x→y=sinx,x∈A,y∈B

③A={x|x∈R},B={y|y≥0},對(duì)應(yīng)法則f:x→y=x2,x∈A,y∈B

[  ]
A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:成功之路·突破重點(diǎn)線·數(shù)學(xué)(學(xué)生用書(shū)) 題型:013

若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于

[  ]

A.-a+b

B.a-b

C.a-b

D.-a+b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

過(guò)點(diǎn)A(1,-1)、B(-1,1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程為(    )

A.(x-3)2+(y+1)2=4                         B.(x+3)2+(y-1)2=4

C.(x-1)2+(y-1)2=4                             D.(x+1)2+(y+1)2=4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題

設(shè)A(1,-1),B(0,1),若直線ax+by=1與線AB(包括端點(diǎn))有公共點(diǎn),則a2+b2的最小值為


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年山東省高考模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)文試卷(解析版) 題型:解答題

一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球,球的編號(hào)分別為1,2,3,4.

(I)從袋中隨機(jī)抽取一個(gè)球,將其編號(hào)記為,然后從袋中余下的三個(gè)球中再隨機(jī)抽取一個(gè)球,將其編號(hào)記為.求關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根的概率;

(II)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為m,將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為n.若以 作為點(diǎn)P的坐標(biāo),求點(diǎn)P落在區(qū)域內(nèi)的概率.

【解析】第一問(wèn)利用古典概型概率求解所有的基本事件數(shù)共12種,然后利用方程有實(shí)根,則滿足△=4a2-4b2≥0,即a2≥b2。,這樣求得事件發(fā)生的基本事件數(shù)為6種,從而得到概率。第二問(wèn)中,利用所有的基本事件數(shù)為16種。即基本事件(m,n)有:(1,1)  (1,2)   (1,3)  (1,4)   (2,1)  (2,2)  (2,3)   (2,4)   (3,1)   (3,2)  (3,3)    (3,4)   (4,1)   (4,2)   (4,3)  (4,4)共16種。在求解滿足的基本事件數(shù)為(1,1) (2,1)  (2,2) (3,1) 共4種,結(jié)合古典概型求解得到概率。

(1)基本事件(a,b)有:(1,2)   (1,3)  (1,4)   (2,1)   (2,3)   (2,4)   (3,1)   (3,2)  (3,4)   (4,1)   (4,2)   (4,3)共12種。

有實(shí)根, ∴△=4a2-4b2≥0,即a2≥b2。

記“有實(shí)根”為事件A,則A包含的事件有:(2,1)   (3,1)   (3,2)  (4,1)   (4,2)   (4,3) 共6種。

∴PA.= 。   …………………6分

(2)基本事件(m,n)有:(1,1)  (1,2)   (1,3)  (1,4)   (2,1)  (2,2)  (2,3)   (2,4)   (3,1)   (3,2)  (3,3)    (3,4)   (4,1)   (4,2)   (4,3)  (4,4)共16種。

記“點(diǎn)P落在區(qū)域內(nèi)”為事件B,則B包含的事件有:

(1,1) (2,1)  (2,2) (3,1) 共4種!郟B.=

 

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