Question

15．已知函數(shù)F（x）=xlnx．
（1）求這個函數(shù)的圖象在點x=e處的切線方程．
（2）若方程F（x）-t=0在x∈[e^-2，1]上有兩個不相等的實數(shù)根，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)在x=e處的導(dǎo)數(shù)，再求出切點坐標，代入直線方程的點斜式得答案；
（2）要使方程F（x）-t=0在[e^-2，1]上有兩個不相等的實數(shù)根，只需y=t與y=F（x）的圖象有兩個交點即可．

解答 解：（1）∵F（x）=xlnx，
∴F′（x）=lnx+1（x＞0）；
切線的斜率k=F′（e）=lne+1=2，點（e，e），
代入點斜式方程得：y-e=2（x-e），即2x-y-e=0，
∴該函數(shù)的圖象在x=e處的切線方程為：2x-y-e=0．--------（6分）
（2）令F′（x）=0，則x=e^-1∈[e^-2，1]，
當(dāng)x∈（e^-2，e^-1）時，F(xiàn)′（x）＜0
當(dāng)x∈（e^-1，1）時，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）的最小值為F（e^-1）=-e^-1
要使方程F（x）-t=0在[e^-2，1]上有兩個不相等的實數(shù)根，
只需y=t與y=F（x）的圖象有兩個交點即可，
又F（e^-2）=-2e^-2＜F（1）=0，
故t的取值范圍是：（-e^-1，-2e^-2]--------（6分）

點評 本題考查基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查方程根問題，是中檔題．