已知直線a與平面α不垂直，求證：經(jīng)過直線a有且只有一個平面β垂直于平面α.

 

答案：
解析：

解：這里既要證明垂面的存在性，還要證明唯一性.

（1）存在性：在直線a上任取一點A，過A作AB⊥平面α，垂足為B，則直線a和AB確定一個平面β，顯然有平面α⊥平面β.

（2）唯一性：設(shè)經(jīng)過a且與平面α垂直的平面還有一個平面γ，這樣，平面β和γ同時垂直于平面α，且β和γ交線為a；在直線a上任取一點A，過A作AB⊥平面α，垂足為B，則AB在平面β內(nèi)，也在平面γ內(nèi)，因此，AB也是平面β和γ的交線，于是，直線AB與直線a重合，則有a⊥平面α，這與已知矛盾.

∴平面γ是不存在的.

∴經(jīng)過直線a有且只有一個平面β垂直于平面α.

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列表述中
（1）側(cè)面為梯形的幾何體為臺體；
（2）不共面的四點可確定四個平面；
（3）一條直線和一個點可確定一個平面；
（4）如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么這兩個平面必有無數(shù)個公共點；
（5）垂直與同一條直線的兩條直線互相平行；
（6）已知直線a與兩平行平面中的一個平行，那么直線a與另一個平面也平行．
正確命題的序號是
（2）（4）
（2）（4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

已知直線a與平面α不垂直，求證：經(jīng)過直線a有且只有一個平面β垂直于平面α.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線a及平面α,且a不在α內(nèi),如果直線a上有兩點到平面α的距離相等,則a與α的關(guān)系是(    )

A.平行         B.相交                 C.平行或相交       D.垂直

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知直線a與b不共面，直線c∩a＝M，直線b∩c＝N，又a∩平面α＝A，b∩平面α＝B，c∩平面α＝C，求證：A、B、C三點不共面．

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