Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形BC∥AD，∠DAB=90°，AB=BB₁=4，BC=3，AD=5，AE=3，F(xiàn)、G分別為CD、C₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥平面BB₁G；
（2）求二面角E-BB₁-G的大小．

Answer 1

分析：（1），要證明線面垂直，根據(jù)判定定理，需要證明直線垂直于EF平面BB₁G內(nèi)的兩條相交直線，由直四棱柱的性質(zhì)容易證明EF⊥BB₁，所以只需證明EF⊥BF，二者在同一個(gè)平面內(nèi)，故只需連接BF并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，通過(guò)三角形全等證明EF⊥BF即可．
（2），求二面角的思路有兩條，一：作、證、指、求，作出二面角的平面角，再去利用解三角形的方法，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角來(lái)解決．

解答：解：（1）連接FG∵F、G分別為CD、C₁D₁的中點(diǎn)，
∴FG∥CC₁且相等， ;；；從而FG∥BB₁ 且相等
 ;；；∴B、B₁、F、G四點(diǎn)共面．
連接BF并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．
∵F為CD的中點(diǎn)，且BC∥AD．
∴△HFD≌△BFC∴DH=BC=3
∴EH=DE+DH=5．又∵BE=5，且F為BH的中點(diǎn)．
∴EF⊥BF，又∵BB₁⊥平面ABCD，且EF?平面ABCD內(nèi)．
∴BB₁⊥EF∴EF⊥平面BB₁GF．從而EF⊥平面BB₁G．

（2）二面角E-BB₁-G的大小等于二面角F-BB₁-E的大小
∵EF⊥平面FBB₁且EB⊥BB₁FB⊥BB₁
即∠EBF為二面角F-BB₁-E的平面角
在△EFB中，EB=5，EF=

1

2

DC=

5

．∴sin∠EBF=

5

5

∴∠EBF=arcsin

5

5

∴二面角E-BB₁-G的大小為arcsin

5

5

解法2：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AA₁為y軸，AD為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則E（0，0，3）、F（2，0，4）、G（2，4，4）、B（4，0，0）、B₁（4，4，0）
（1）

EF

=(2，0，1)、

BB1

=(0，4，0)、

B1G

=(-2，0，4)
∵

EF

•

BB1

=0，

EF

•

B1G

=-4+4=0
∴EF⊥BB₁，EF⊥B₁G∴EF⊥平面BB₁G
（2）∵EF⊥平面BB₁G∴

EF

=(2，0，1)為平面BB₁G的一個(gè)法向量
設(shè)平面EBB₁的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)

BE

=(-4，0，3)

BB1

=(0，4，0)
則

n • BE =-4x+3z=0 n • BB1 =4y=0

解得y=0，取z=4
∴

n

=(3，0，4)cos＜

EF

•

n

＞=

EF • n

| EF |•| n |

=

10

5 ×5

=

2 5

5

∴二面角E-BB₁-G的大小為arccos

2 5

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的證明和二面角的求法，是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，在證明中要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，將證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直，求二面角兩種方法要注意幾何法中的作角，向量法中要注意選取兩個(gè)平面的法向量，也可以在兩個(gè)平面內(nèi)選取，但是要注意他們的夾角與二面角的關(guān)系．