Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）．（e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）判斷f（x）在[0，+∞）上是否是單調(diào)函數(shù)，并寫出f（x）在該區(qū)間上的最小值；
（2）證明：e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln（n+1）+n（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=ex-

1

x+1

，構(gòu)建新函數(shù)g（x）=ex-

1

x+1

，從而可得函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，即可求出f（x）在該區(qū)間上的最小值；
（2）先證明e^x≥ln（x+1）+1，取x=

1

n

，可得e

1

n

≥ln（n+1）-lnn+1，再累加，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=ex-

1

x+1

令g（x）=ex-

1

x+1

，則g′（x）=ex+

1

(x+1)2

≥0
∴g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）≥g（0）=0
∴f′（x）≥0
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增
∴最小值為f（0）=1
（2）證明：由（1）知，f（x）≥f（0）=1
∴e^x-ln（x+1）≥1
∴e^x≥ln（x+1）+1
取x=

1

n

，則e

1

n

≥ln（

1

n

+1）+1=ln（n+1）-lnn+1
∴e≥ln2-ln1+1，e

1

2

≥ln3-ln2+1，…，e

1

n

≥ln（n+1）-lnn+1
相加可得e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln（n+1）+n（n∈N^*）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，屬于中檔題．