Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（2）=1，若f（x+a）≤1對(duì)x∈[-1，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[-1，1]

．

Answer 1

分析：先利用f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（2）=1，得到f（2）=f（-2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，f（x+a）≤1對(duì)x∈[-1，1]恒成立，導(dǎo)出-2-x≤a≤2-x在x∈[-1，1]上恒成立，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（2）=1，
∴f（2）=f（-2）=1；
∵f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，f（x+a）≤1對(duì)x∈[-1，1]恒成立，
∴-2≤x+a≤2，
即-2-x≤a≤2-x在x∈[-1，1]上恒成立，
∴-1≤a≤1，
故答案為：[-1，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的靈活運(yùn)用．