Question

選修4－5：不等式選講

已知|x-4|+|3-x|<a

   （1）若不等式的解集為空集，求a的范圍

   （2）若不等式有解，求a的范圍

 

 

Answer 1

【答案】

（1）a ≤ 1 

（2）當1＜a時,|x-4|+|3-x|<a有解

【解析】解法一：（1）<1>  x≥4 時     （x-4）+（x-3） < a       

f（x）=2x-7 在 x≥4上單調遞增      x=4時取最小值1。

若要求不等式無解，則 a 小于或等于該最小值即可。即 a ≤ 1      ……2分

<2.>   4>x>3時        （4-x） + （x-3） < a     1 < a  

若要求不等式無解，則 a ≤ 1。否則不等式的解集為全集�！�………………4分

<3>x ≤ 3 時     （4-x）+（3-x） < a   

 7-2x < a  在x ≤ 3區(qū)間，不等式左端的函數單調遞減。在 x=3 時取最小值 1。

若要求不等式無解，則 a ≤ 1 綜合以上 a ≤ 1  ………………………………6分

（2）若不等式有解，則 a的范圍為原范圍的補集。即 a > 1  ……………10分

另解：<1>:x≥4時:|x-4|+|3-x|=x-4+x-3=2x-7,因為x≥4,所以2x-7≥1

<2>:  3≤x＜4時:|x-4|+|3-x|=4-x+x-3=1

<3>:x＜3時:|x-4|+|3-x|=4-x+3-x=7-2x,因為x＜3,所以-x＞-3,所以7-2x＞1

可見|x-4|+|3-x|最小值為1,要使|x-4|+|3-x|<a是空集,

只需a小于等于|x-4|+|3-x|的最小值,所以a≤1

所以有解時是a>1

解法二: 設y=|x-4|+|x-3|，（|x-3|=|3-x|）

等價于:

其圖象為:

     

由圖象知: 當a≤1時,|x-4|+|3-x|<a無解      

當1＜a時,|x-4|+|3-x|<a有解