Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值．

Answer 1

分析：（1）分別將A，B，O的坐標(biāo)代入，通過方程組求a，b，c．
（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合對(duì)稱軸的性質(zhì)，求AM+OM的最小值．

解答：解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）代入y=ax²+bx+c中，
得

4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0 c=0

，解得a=-

1

2

，b=1，c=0，
所以解析式為y=-

1

2

x²+x．
（2）由y=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，可得拋物線的對(duì)稱軸為x=1，并且對(duì)稱軸垂直平分線段OB，
∴OM=BM，
∴OM+AM=BM+AM，
連接AB交直線x=1于M點(diǎn)，則此時(shí)OM+AM最小，
過點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，
在Rt△ABN中，AB=

AN2+BN2

=

42+42

=4

2

，
因此OM+AM最小值為4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用配方法是解決二次函數(shù)的基本方法．