Question

（本小題滿(mǎn)分14分）

已知?jiǎng)訄AP（圓心為點(diǎn)P）過(guò)定點(diǎn)A（1，0），且與直線相切。記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C。

（Ⅰ）求軌跡C的方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線C相切，且與直線相交于點(diǎn)Q。試研究：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）x軸上存在定點(diǎn)M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)閯?dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)A（1，0），且與直線x=－1相切，

所以圓心P到點(diǎn)A（1，0）的距離與到直線x=－1的距離相等。

根據(jù)拋物線定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為拋物線，且方程為C：。       4分

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，（易知斜率不存在的直線不符合要求）

由，消去y得，

由題意，得k≠0，且，化簡(jiǎn)得km=1。       6分

設(shè)直線l與曲線C相切的切點(diǎn)P（x₀，y₀），

則

所以，

由。                                    8分

若取k=1，m=1，此時(shí)P（1，2），Q（－1，0），以PQ為直徑的圓為，交x軸于點(diǎn)M₁（1，0），M₂（－1，0）；

若取，此時(shí)以PQ為直徑的圓為

，交x軸于點(diǎn)M₃（1，0），M₄。

所以若符合條件的點(diǎn)M存在，則點(diǎn)M的坐標(biāo)必為（1，0）。（即為點(diǎn)A）     10分

以下證明M（1，0）就是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)。

因?yàn)镸的坐標(biāo)為（1，0），

所以，                                11分

從而，

故恒有,

即在x軸上存在定點(diǎn)M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M。          14分

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求解及直線與圓錐曲線相交相切位置關(guān)系的考查

點(diǎn)評(píng)：第一問(wèn)用定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是圓錐曲線題目經(jīng)常出現(xiàn)的類(lèi)型，第二問(wèn)證明動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)先通過(guò)兩個(gè)特殊圓找到過(guò)的定點(diǎn)，進(jìn)而證明此點(diǎn)在任意的以PQ為直徑的圓上