Question

某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用，如圖所示，ABCD（AB＞AD）為長方形薄板，沿AC折疊后，AB′交DC于點P，經(jīng)試驗當△ADP的面積最大時最節(jié)能．
（1）設(shè)AB=x（米），用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍．
（2）若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計薄板的長和寬？

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意，AB=x，BC=2-x．x＞2-x，故1＜x＜2．設(shè)DP=y，從而求出x與y的關(guān)系；
（2）記△ADP的面積為S₁，從而可得S₁=（1-

1

x

）（2-x），化簡利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）由題意，AB=x，BC=2-x．x＞2-x，故1＜x＜2．
設(shè)DP=y，則PC=x-y．又△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由PA²=AD²+DP²，
得（x-y）²=（2-x）²+y²，y=2（1-

1

x

），1＜x＜2．
（2）記△ADP的面積為S₁，
則S₁=（1-

1

x

）（2-x）=3-（x+

2

x

）≤3-2

2

，
當且僅當x=

2

∈（1，2）時，S₁取得最大值．
故當薄板長為

2

米，寬為（2-

2

）米時，節(jié)能效果最好．

點評：本題考查了實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．