Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f′（x）+6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。（1）求m、n的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)的極值。

Answer 1

解：（1）由函數(shù)f（x）圖象過點(diǎn)（-1，-6），得m-n=-3，①
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，
則g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n；
而g（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以-=0
所以m=-3
代入①得n=0
于是f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）。
（2）由（1）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

由此可得：
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)有極大值f（0）=-2，無極小值；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)無極值；
當(dāng)1＜a＜3時(shí)，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)有極小值f（2）=-6，無極大值；
當(dāng)a≥3時(shí)，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)無極值
綜上得：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）有極大值-2，無極小值，
當(dāng)1＜a＜3時(shí)，f（x）有極小值-6，無極大值；
當(dāng)a=1或a≥3時(shí)，f（x）無極值。