Question

如圖，已知直線l：x=my+1過橢圓的右焦點F，拋物線：的焦點為橢圓C的上頂點，且直線l交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且，當m變化時，探求λ₁+λ₂的值是否為定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試證明當m變化時，直線AE與BD相交于定點．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件能夠求出c=1，b=，從而求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關系推導λ₁+λ₂的值．
（Ⅲ）由題設條件想辦法證明點在既直線l_AE上，又在直線l_BD上，∴當m變化時，AE與BD相交于定點．
解答：解：（Ⅰ）易知橢圓右焦點F（1，0），∴c=1，
拋物線的焦點坐標，∴∴b²=3
∴a²=b²+c²=4∴橢圓C的方程

（Ⅱ）易知m≠0，且l與y軸交于，
設直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由
∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴
又由
∴
同理
∴
∵
∴
所以，當m變化時，λ₁+λ₂的值為定值；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
方法1）∵
當時，=
=
∴點在直線l_AE上，
同理可證，點也在直線l_BD上；
∴當m變化時，AE與BD相交于定點
方法2）∵
=
∴k_EN=k_AN∴A、N、E三點共線，
同理可得B、N、D也三點共線；
∴當m變化時，AE與BD相交于定點．
點評：本題是橢圓的綜合應用題，有一定的難度．解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，仔細作答．