Question

某廠生產一種儀器，由于受生產能力和技術水平的限制，日產量不超過94件，且會產生一些次品，根據經驗知該廠生產這種儀器，次品率p與日產量x件之間大體滿足關系：P=

1

96-x

（1≤x≤94，x∈N）．已知每生產一件合格的儀器可盈利A元，但每生產一件次品將虧損

A

2

元．
（1）試將生產這種儀器每天的贏利額T（元）表示成日產量x（件）的函數；
（2）為了獲得最大利潤，日產量x件應為多少件？

Answer 1

分析：（1）每天的贏利額=盈利額-虧損額=A×合格品數-

A

2

×次品數．可得出T=x（1-

1

96-x

）A-

x

96-x

•

A

2

=[x-

3x

2(96-x)

]A
（2）將T得解析式變形為T=（x+

3

2

-

144

96-x

）A=[97

1

2

-（96-x）-

144

96-x

]A，再利用基本不等式求出最大值即可．

解答：解：（1）當1≤x≤94時，p=

1

96-x

，
每日生產的合格品約為x（1-

1

96-x

）件，次品約為

x

96-x

件，
∴T=x（1-

1

96-x

）A-

x

96-x

•

A

2

=[x-

3x

2(96-x)

]A（1≤x≤94）．
（2）當1≤x≤94時，T=（x+

3

2

-

144

96-x

）A=[97

1

2

-（96-x）-

144

96-x

]A．
∵x≤94，∴96-x＞0，
∴T≤[97

1

2

-2

(96-x)• 144 96-x

]•A=（97

1

2

-24）•A=

147

2

A
當且僅當96-x=

144

96-x

時，即x=84時，等號成立．
故要獲得最大利潤，日產量應為84件．

點評：本題考查了利潤函數模型的應用，并且利用基本不等式求得函數的最值問題，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．