Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，拋物線準(zhǔn)線與x軸交于C點，若∠CBF=90°，則|AF|-|BF|的值為（　�。�

• A、

  p

  2

• B、p
• C、

  3p

  2

• D、2p

Answer 1

分析：假設(shè)方程與拋物線方程聯(lián)立，借助于求出點A，B的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義，即可求出|AF|-|BF|．

解答：解：假設(shè)k存在，設(shè)AB方程為：y=k（x-

p

2

），
與拋物線y²=2px（p＞0）聯(lián)立得k²（x²-px+

p2

4

）=2px，
即k²x²-（k²+2）px+

k2p2

4

=0
設(shè)兩交點為A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
∵∠CBF=90°，∴（x₁-

p

2

）（x₁+

p

2

）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=

p2

4

，∴x₁²+2px₁-

p2

4

=0（x₁＞0），∴x₁=

-2+ 5

2

p，
∵x₁x₂=

p2

4

，∴x₂=

2+ 5

2

p，
∴|AF|-|BF|=（x₂+

p

2

）-（x₁+

p

2

）=2p，
故選D．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．