Question

設(shè)函數(shù)，f（x）=|x-a|
（Ⅰ）當(dāng)a=2，解不等式，f（x）≥5-|x-1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集為[0，2]，

1

m

+

1

2n

=a（m＞0，n＞0），求證：m+2n≥4．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2，不等式即|x-2|+|x-1|≥5．由絕對(duì)值的意義可得-1和4到1、2的距離之和正好等于5，從而求得|x-2|+|x-1|≥5的解集．
（Ⅱ）由f（x）≤1求得 a-1≤x≤a+1，再根據(jù)f（x）≤1的解集為[0，2]，可得a=1，再根據(jù) m+2n=（m+2n）（

1

m

+

1

2n

）=2+

2n

m

+

m

2n

，利用基本不等式證得要證的不等式．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2，不等式f（x）≥5-|x-1|，即|x-2|+|x-1|≥5．
由絕對(duì)值的意義可得，|x-2|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1、2的距離之和，而-1和4到1、2的距離之和正好等于5，
故|x-2|+|x-1|≥5的解集為（-∞，-1]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）由f（x）≤1 可得-1≤x-a≤1，求得 a-1≤x≤a+1，
再根據(jù)f（x）≤1的解集為[0，2]，可得a=1．
故有

1

m

+

1

2n

=1（m＞0，n＞0），∴m+2n=（m+2n）（

1

m

+

1

2n

）=2+

2n

m

+

m

2n

≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)

2n

m

=

m

2n

時(shí)，等號(hào)成立，故m+2n≥4成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．