Question

數(shù)列{a_n}的前N項和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項和T．

Answer 1

分析：（I）利用遞推公式a_n+1=2S_n把已知轉(zhuǎn)化為a_n+1與a_n之間的關(guān)系，從而確定數(shù)列a_n的通項；
（II）由（I）可知數(shù)列a_n從第二項開始的等比數(shù)列，設(shè)b_n=n則數(shù)列b_n為等差數(shù)列，所以對數(shù)列n•a_n的求和應(yīng)用乘“公比”錯位相減．

解答：解：（I）∵a_n+1=2S_n，
∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴

Sn+1

Sn

=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴數(shù)列{S_n}是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，S_n=3^n-1（n∈N*）．
∴當(dāng)n≥2時，a_n-2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴a_n=

1 ，n=1 2•3n-2 ，n≥2

（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，
當(dāng)n=1時，T1=1；
當(dāng)n≥2時，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1，②
①-②得：-2Tn=-2+4+2（31+32+…+3n-2）-2n•3n-1=2+2•

3(1-3n-2)

1-3

-2n•3n-1=-1+（1-2n）•3n-1
∴Tn=

1

2

+（n-

1

2

）3n-1（n≥2）．
又∵Tn=a1=1也滿足上式，∴Tn=

1

2

+（n-

1

2

）3^n-1（n∈N*）

點評：本小題考查數(shù)列的基本知識，考查等比數(shù)列的概念、通項公式及數(shù)列的求和，考查分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理和運算能力．