Question

（理）已知數(shù)列{log₃（a_n+1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=2，a₂=8，則等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   1

Answer 1

D
分析：由題意，可先由數(shù)列{log₃（a_n+1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=2，a₂=8得出數(shù)列{log₂（a_n-1）}的首項(xiàng)為1，公差為1，由此解出log₃（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，從而求出a_n=-1+2ⁿ，再研究a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-1-2ⁿ+1=2ⁿ即可得出=，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式計(jì)算出所求的極限即可
解答：數(shù)列{log₃（a_n+1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=2，a₂=8
數(shù)列的公差為log₃9-log₃3=1，
故log₃（a_n+1）=1+（n-1）×1=n，即a_n+1=2ⁿ，a_n=-1+2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-1-2ⁿ+1=2ⁿ
∴=
故答案為D
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與極限的綜合，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式，對數(shù)的運(yùn)算，等比數(shù)列的求和等，涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)條件求出a_n=-1+2ⁿ，難度較高．