已知銳角α、β、γ滿足:cos2α+cos2β+cos2γ=1,則tanαtanβtanγ的最小值為 .
【答案】
分析:由cos
2α+cos
2β+cos
2γ=1想到一個數(shù)學(xué)模型即三個角可看作是長方體的對角線與過一個頂點(diǎn)的三條棱的所成的角,設(shè)出長方體的三條棱,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義表示出tanαtanβtanγ,利用基本不等式可求出最小值.
解答:解:由cos
2α+cos
2β+cos
2γ=1聯(lián)想到銳角α、β、γ是長方體的對角線與過一個頂點(diǎn)的三條棱所成角,
記該長方體過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為a、b、c,
則tanαtanβtanγ=
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≥
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=2
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,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.
所以tanαtanβtanγ的最小值為2
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.
故答案為2
點(diǎn)評:本題考查了利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型即長方體的對角線與棱所成的角來解決實(shí)際問題,同時要會用基本不等式求最值,學(xué)生在做題時,能否想到這個數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵也是一個難點(diǎn).