Question

已知{b_n}是公比大于1的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，若S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差數(shù)列，且a₁=1，a_n=b_n•（）（n≥2）．
（1）求b_n；
（2）證明：（1+）（1+）…（1+）＜e³（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差數(shù)列，求出公比與首項(xiàng)，即可得出通項(xiàng)公式；
（2）由題意，要證明：（1+）（1+）…（1+）＜e³，只需證ln2+ln（1+）+…+ln（1+）＜3．令f（x）=ln（1+x）-x（x＞0），證明ln（1+x）＜x，進(jìn)而只要證明ln2+ln（1+）+…+ln（1+）＜ln2++…+，利用錯(cuò)位相減法求和，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：∵S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差數(shù)列，
∴
∴2q²-5q+2=0
∴q=2或q=
∵q＞1
∴q=2，∴b₁=2
∴b_n=2ⁿ；
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=b_n•（）=2ⁿ-2
∴1+=1+．
要證明：（1+）（1+）…（1+）＜e³，
只需證ln2+ln（1+）+…+ln（1+）＜3．
令f（x）=ln（1+x）-x（x＞0）
則f′（x）==＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵f（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，即ln（1+x）＜x．
從而當(dāng)n≥2時(shí)，ln（1+）＜＜
∴l(xiāng)n2+ln（1+）+…+ln（1+）＜ln2++…+
令T_n=++…+①
∴T_n=++…+②
①-②得T_n=1++…+-=
∴T_n=3-＜3
∴（1+）（1+）…（1+）＜e³．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．