已知函數(shù)y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)
(Ⅰ)如果x=0時(shí),,求a,b,c.
(Ⅱ)如果將圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小到原來的,然后將所得圖象向左平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x)的圖象,并且方程f(x)=3的所有正根依次成為一個(gè)公差為3的等差數(shù)列,求y=f(x)的解析式.
【答案】分析:(Ⅰ)利用輔助角公式對函數(shù)解析式化簡整理,把最低點(diǎn)坐標(biāo)代入求得φ和a,b和c的關(guān)系,表示出函數(shù)的解析式,把x=0代入即可求得a,b和c.
(Ⅱ)依據(jù)題意可求得變換后函數(shù)的解析式,進(jìn)而可知方程f(x)=3的正根就是直線y=3與y=f(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),通過它們成等差數(shù)列,判斷出直線y=3滿足以上要求只能有三個(gè)位置:一是過圖象最高點(diǎn)且和x軸平行的直線l1,二是過圖象最低點(diǎn)且和x軸平行的直線l2,三是和l1、l2平行且等距的直線l3,根據(jù)最低點(diǎn)排除l2.假若直線y=3在l1,交點(diǎn)間隔為一個(gè)周期6,即正根的公差為6,不合題意,所以y=3只能在l3位置,求得c,則函數(shù)的解析式求得正根檢驗(yàn)后符合題意,函數(shù)的解析式可得.
解答:解:(Ⅰ)原函數(shù)可化為
(其中φ為輔助角,滿足,),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101221842881942537/SYS201311012218428819425012_DA/3.png">是它的最低點(diǎn),
所以
解得
所以
又x=0時(shí),,所以c=0,,;
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101221842881942537/SYS201311012218428819425012_DA/11.png">,
按題給變換后得
方程f(x)=3的正根就是直線y=3與y=f(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
它們成等差數(shù)列,即y=3與y=f(x)相鄰交點(diǎn)間的距離都相等.
直線y=3滿足以上要求只能有三個(gè)位置:
一是過圖象最高點(diǎn)且和x軸平行的直線l1,
二是過圖象最低點(diǎn)且和x軸平行的直線l2
三是和l1、l2平行且等距的直線l3,而圖象最低點(diǎn)為,
故不可能是l2.假若直線y=3在l1,交點(diǎn)間隔為一個(gè)周期6,
即正根的公差為6,不合題意,所以y=3只能在l3位置,
所以c=3,,此時(shí)由得x=3k,
正根可組成一個(gè)公差為3的等差數(shù)列,符合題意.

點(diǎn)評:本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值,等差數(shù)列的應(yīng)用,三角函數(shù)的圖象變換.考查了學(xué)生分析問題的能力和推理能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ),在同一周期內(nèi),當(dāng)x=
π
12
時(shí),取最大值y=2,當(dāng)x=
12
時(shí),取得最小值y=-2,那么函數(shù)的解析式為( 。
A、y=
1
2
sin(x+
π
3
B、y=2sin(2x+
π
3
C、y=2sin(
x
2
-
π
6
D、y=2sin(2x+
π
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)y=Asin(ωx+∅)(A>0,ω>0,-π≤∅≤π)一個(gè)周期的圖象(如圖),則這個(gè)函數(shù)的一個(gè)解析式為( 。
A、y=2sin(
3
2
x+
π
2
)
B、y=2sin(3x+
π
6
)
C、y=2sin(3x-
π
6
)
D、y=2sin(3x-
π
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=Asin(ωx+?)+B(A>0,ω>0,|?|<
π
2
)
的周期為T,在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,則φ=
-
π
6
-
π
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)
的一部分圖象如圖所示,則( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=Asin(ωx+∅)+k的最大值為4,最小值為0,最小正周期是
π
2
,在x∈[
π
24
,
π
12
]
上單調(diào)遞增,則下列符合條件的解析式是( 。

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