Question

已知|M₁M₂|=2，點M與兩定點M₁，M₂距離的比值是一個正數m．
（1）試建立適當坐標系，求點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么圖形；
（2）求當m=2時，點M的軌跡與以M₁M₂為直徑的圓的公共點所在的直線方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關系

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）以線段M₁M₂的中點為原點，直線M₁M₂為x軸建立直角坐標系，利用點M與兩定點M₁，M₂距離的比值是一個正數m，建立方程，即可得出結論；
（2）求出當m=2時，點M的軌跡與以M₁M₂為直徑的圓的方程，即可求出公共點所在的直線方程．

解答： 解：（1）以線段M₁M₂的中點為原點，直線M₁M₂為x軸建立直角坐標系．
設M₁（-1，0），M₂（1，0），M（x，y）由已知得：

(x+1)2+y2

=m

(x-1)2+y2

，（m＞0）
化簡得：（m²-1）x²+（m²-1）y²-2（m²+1）x+m²-1=0…（4分）
當m=1時，點M在線段M₁M₂的垂直平分線上，方程為x=0，即y軸；
當m≠1時，配方得：(x-

m2+1

m2-1

)2+y2=

4m2

(m2-1)2

表示圓心在(

m2+1

m2-1

，0)半徑為

2m

|m2-1|

的圓．    
（2）當m=2時，點M的軌跡方程為3x²+3y²-10x+3=0，
以M₁M₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1，
∴點M的軌跡與以M₁M₂為直徑的圓的公共點所在的直線方程為x=

3

5

．

點評：本題考查軌跡方程，考查圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．