Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

（x∈（0，+∞））．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x≥1，都有f（x）≥k（x+

3

x

）+2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)f′(x)=

1-lnx

x2

，f'（x）=0解得x=e．再解f'（x）＞0或＜0，得到得到區(qū)間，即可得到極值；
（Ⅱ）f(x)≥k(x+

3

x

)+2等價(jià)于lnx-kx²-2x-3k≥0，設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-kx²-2x-3k（x≥1），求出導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，即可得到k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

1-lnx

x2

，f'（x）=0解得x=e．
f'（x）＞0解得0＜x＜e，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，
f'（x）＜0解得e＜x，此時(shí)f（x）為減函數(shù)．
所以f（x）在x=e取極大值

1

e

．
（Ⅱ）f(x)≥k(x+

3

x

)+2等價(jià)于lnx-kx²-2x-3k≥0，
設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-kx²-2x-3k（x≥1），所以g（1）≥0．
g′(x)=

1

x

-2kx-2=

-2kx2-2x+1

x

．
當(dāng)k≤-

1

2

時(shí)，設(shè)h（x）=-2kx²-2x+1，其開口向上，對(duì)稱軸x=-

1

2k

≤1，
h（1）=-2k-1≥0，所以h（x）≥0恒成立．
所以g'（x）≥0恒成立，即g（x）在x≥1上為增函數(shù)，
所以g（x）≥g（1）=0．
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞，-

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性求解，屬于中檔題．